实验原理

霍耳效应与磁阻效应

运动的载流子(电子或空穴)在磁场中受洛伦兹力作用而引起的偏转，这种偏转导致在垂直电流和磁场方向上产生正负电荷的聚集，从而形成附加的横向电场，这种现象称为霍耳效应。在达到稳态时，某一速度为V0的载流子所受到的电场力与洛伦兹力相等，该种载流子将以弧形方式在外加电场下运动，如图1(a)所示。

由于半导体中载流子的速度总存在一定的统计分布，比该速度慢的载流子将向电场力方向偏转，比该速度快的载流子则向洛伦兹力方向偏转，如图1(b)所示。这种偏转导致载流子的漂移路径增加，也就是说，沿外加电场方向运动的载流子数目减少，从而使电阻增加。这种现象称为磁阻效应。若外加磁场与外加电场垂直，称为横向磁阻效应；若外加磁场与外加电场平行，则称为纵向磁阻效应。

图1载流子（空穴、电子）在电场和磁场下的(a)运动和(b)偏转示意图

二维电子气、朗道能级量子化

二维电子气：如果三维固体中电子的运动在某一个方向(如z方向)上受到限制，那么电子就只能在另外两个方向(x、y方向)上自由运动，这种具有两个自由度的自由电子就称为二维电子气（2DEG）。2DEG一般容易在异质结构中获得。对于半导体突变异质结，由于导带底能量突变量ΔEc的存在，则在界面附近出现有“尖峰”和“凹口”；实际上，对异质结中导带电子的作用而言，该“尖峰”也就是电子的势垒，“凹口”也就是电子的势阱。因此，实际上“尖峰”中的电场有驱赶电子的作用，即形成耗尽层；“凹口”中的电场有驱赶空穴、积累电子的作用，在条件合适时，即可形成电子积累层（即表面导电沟道）。如果“凹口”势阱的深度足够大，则其中的电子就只能在势阱中沿着平面的各个方向运动（即紧贴着异质结界面运动），即为二维运动的电子。引入有效质量概念，则可认为这些电子是经典自由电子，从而可把异质结势阱中的电子看作为具有一定有效质量的2DEG。其它半导体表面沟道（例如MOSFET的沟道）中的电子也是2DGS。

朗道(Landau)能级：载流子在磁场中将作绕磁场回旋的螺旋运动，回旋频率。当磁场很强、温度很低时，载流子的运动将呈现出量子化效应，在垂直于磁场方向的平面内的运动是量子化的，原来能带中电子状态重新组合，形成了若干个子带，称这些分立的子带为朗道能级。外加磁场下电子朗道能级量子化引起的，磁场中二维电子气系统哈密顿量可以写成：

（1）

其中A是矢量势，V (r)是晶格周期势。求解薛定谔方程可得其能量本征值：

（2）

式中是电子回旋频率。由式（2）可知沿磁场Z方向电子能量具有连续值，而垂直于磁场方向平面内电子能量量子化，相邻朗道能级之间能量相差。

图2 二维电子气形成示意图 图3 能带在磁场中的量子化

磁电阻的SdH量子振荡

1930年，舒伯尼科夫和德哈斯合作随首次在铋单晶材料中观察到电阻随磁场的倒数呈周期性变化的现象，被称为舒伯尼科夫—德哈斯(Shubnikov-de Haas, SdH )效应。能级量子化理论能够很好的解释SdH效应。SdH效应是第一个从实验上验证了朗道能级理论的量子效应，也是第一个在固体中观察到的量子效应。随后人们也在一些金属、金属间化合物、半金属和半导体中观察到SdH效应。在低温强磁场条件下，这些材料都具有简并的电子系统和较高的载流子迁移率，SdH效应很容易被观察到，它为研究这些材料的电子结构提供了很丰富的信息，因此SdH效应己经成为研究固体能带，探测固体费米面的重要手段。尤其是最近拓扑绝缘体和拓扑半金属的兴起，使得这种实验方法又被人们重新重视起来。

本质上，SdH效应是由外加磁场下电子朗道能级量子化引起的。由式（2）可知沿磁场Z方向电子能量具有连续值，而垂直于磁场方向平面内电子能量量子化，相邻朗道能级之间能量相差。由于，可知朗道能级的能量随磁场线性增加，随着磁场增大，这些能级相继穿越费米面，当二者恰好相等时，朗道能级上态密度就会被电子完全占据，形成电子态极大值，所以不断变化的磁场导致了费米面电子态密度的周期性变化，从而形成周期性振荡。我们知道电导率是由载流子密度和散射概率决定的，而费米面上的态密度对二者都有影响，所以费米面上态密度随磁场的周期性变化最终会表现为电导率的振荡。

外加磁场下电子态密度的周期性变化是引起物质一系列奇异性质的重要原因。就在SdH效应被发现后不久，德哈斯和范阿尔芬又发现铋单晶的磁化率随磁场的倒数呈周期性振荡，第二种量子振荡现象德哈斯—范·阿尔芬(dHvA)效应被发现。实验上当固定磁场方向时，两种量子振荡的周期相同。其后不久，类似的热电势、热容、热导、霍尔效应等一系列量子振荡效应也被发现，它们产生的本质原因相同但又有一些具体的区别。以SdH效应为例，考虑到实际固体材料的费米面并不都像自由电子模型具有球型费米面，而是具有很大的各向异性。1952年。昂萨格(Onsager)从理论上证明量子振荡的周期和费米面的极值截面积(S_F)相对应

（3）

通过以上公式可以很方便地测量计算材料费米面的极值截面积，此外，垂直于磁场方向两个或以上的费米面极值截面就会对应于两个或以上频率叠加的量子振荡。在昂萨格理论的基础上，Lifshits和Kosevish在1956年给出了dHvA效应的定量表达式，即著名的L-K理论，后来发展成一个描述量子振荡普适理论，极大的推动了相关领域的发展。而对于SdH效应，其理论处理涉及到各种因素，其相应的L-K公式可以写成:

（4）

公式中第一项类似于振幅，它随磁场的增加而增大，随温度和有效质量的增加而减小；第二项代表了散射的影响；最后一项是余弦波因子，其频率由载流子浓度磁场强度决定，同时与材料本征的性质如贝利相位有关。通过L-K公式拟合SdH振荡和相关参数，可以得到许多重要的物理量，例如载流子有效质量，丁格尔温度，贝利相位等，结合相关计算还可以得到载流子浓度和迁移率信息，所以它是研究量子振荡的一个很重要的工具。

但是在实验中要想观察到明显的SdH振荡，材料体系必须要满足一定条件。首先是低温强磁场条件，必须保证能级间隔大于热激发能量,以免热激发统计分布掩盖量子现象。其次要满足散射条件，即电子在完成在量子化朗道轨道上的回旋运动之前不被散射；最后是量子极限条件，，即费米能量必须大于朗道能级间隔。

量子霍尔效应

二维电子气系统中的电子在电场与磁场作用下的霍尔效应表现出明显的量子化性质。1980年冯•克利青等人首先从实验中观察到了量子化霍尔效应。他们测量了Si的MOSFET反型层中二维电子气系统中的电子在15T强磁场和低于液氦温度下的霍尔电压V_g沿电流方向的电势差V_P与栅压V_H的关系。当磁场垂直于反型层，磁感应强度B与沿反型层流动的电流强度I保持不变时，改变栅压Vg，可改变反型层中载流子的密度n_s。若，则在正常霍耳效应中应有，但是实验表明在某些Vg间隔内，V_H曲线中出现平台，对应于平台时的V_L最小趋近于零。如图4所示的实验结果，由此得到的霍尔电阻是量子化的，其值为

（5）

它只与物理常数有关。用这个方法精确地测定出精细结构常数a，其值应为

（6）

量子化霍耳效应可以从二维电子气在磁场中发生的量子化效应得到初步的说明。MOS反型层中的电子被局限在很窄的势阱中运动，所以反刑层中的电子沿垂直于界面的二方向的运动是量子化的，形成一系列分立能级。在xy平面内，即沿着界面方向其能量仍是准连续的。称这样的电子系统为二维电子气。由于又垂直界面方向的电量子化效应，对应于每一个分立能级，存在一个二维子带。二维电子气在z方向强磁场作用下，沿界面方向电子的运动发生磁量子化，这些二维子带中的电子态要发生重新组合，又分成一系列分立的朗道能级。这样，二维电子气的电子能量在强磁场作用下便完全地量子化了，各能级的能量为

（7）

单位面积内侮一个朗道能级的简并度为

磁场很强、温度很低时，如费米能级E_F位于第i和i+l个朗道能级之间时，则i和i以下的朗道子带全被占满，i以上的各子带则全是空的。这时应不存在任何散射，因而，霍尔电导

（8）

单位面积电子数应为被占满的朗道子带数与每一朗道能级简并度的乘积，即

，则

霍尔电阻为

（9）

这就说明霍尔电压出现平台，且对应于崔尔平台，，即。

图4 V_H、V_P、V_G关系的实验结果